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3. 공액사전분포ConjugatePrior

2021. 7. 13. 14:18Bayesian

베이지안 추론에서 주요 논쟁거리 중 하나는 주관적 사전분포의 사용입니다. 사전분포에는 여러가지 형태가 있고, 사전분포를 정하는 방법은 매우 다양합니다. 

이번 글에서는 공액사전분포에 대해 알아보겠습니다.


모수에 대한 사전분포를 선택할 때, 그 분포의 형태를 모른다면 특정계열의 분포를 이용할 수 있습니다. 사전분포와 사후분포가 동일한 분포족에 속할 때, 사전분포를 공액사전분포Conjugateprior라고 합니다. 흔히 사용되는 공액사전분포는 다음과 같습니다.

표본분포 공액사전분포
B(n, θ) θBeta(α, β)
Poi(θ) θGamma(a, b)
N(μ, σ2), σ2 알 때 μN(μ0, τ20)
N(μ, σ2), μ 알 때, τ=1σ2 τGamma(a, b)
Gamma(α, λ), α 알 때 λGamma(a, b)

 

예를들어서, 표본분포가 이항분포일때, 사전분포를 베타분포로 가정하면, 사후분포가 베타분포가 되기 때문에, 베타분포를 이항분포에 대한 공액사전분포라고 할 수 있습니다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같습니다.

표본에 대한 분포를 이항분포로 가정하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

P(y|θ)=(ny)θy(1θ)ny ;y=0,1,,n

θ에 대한 사전분포로 공액사전분포인 베타분포 θBeta(α, β)를 고려하면 다음과 같습니다.

π(θ)θα1(1θ)β1

이 경우 θ에 대한 사후분포는 다음과 같습니다.

P(θ|y)P(y|θ)π(θ)θy+α1(1θ)ny+β1Beta(y+α, ny+β)

즉 사후분포인 P(θ|y)Beta(y+α, ny+β)분포를 따르므로, B(n, θ)의 사전분포로Beta(α, β)를 선택한다면, Beta(α, β) 를 공액사전분포라고 할 수 있습니다.


이외에도 무정보적 사전분포, 제프리 사전분포 등의 분포를 많이 사용하고 있습니다. 이러한 언급한 사전분포를 사용하지 않는 경우, 분자에 해당하는 P(y|θ)π(θ)의 텀이 특정 분포족을 따르지 않아 사후분포 P(θ|y)를 모델링하지 못할 수도 있고, 분모에 해당하는 적분 텀 P(y|θ)π(θ)dθ의 계산이 불가능Intractable하여 사후분포를 구하지 못할 수도 있습니다.