2021. 7. 18. 18:46ㆍPreliminary/Stochastic Process
이번 글에서는 확률과정의 수학적 정의와 함께 간단한 예시를 통해 확률과정이 무엇인지에 대해 알아보겠습니다.
먼저 예시를 보겠습니다.
A회사에서는 인체에 해가 적고 자연상태에서 쉽게 분해되는 새로운 세제를 개발하였습니다. 그러나 이 제품은 기존제품에 비해 제조단가가 1.5배 이상 되어 과연 소비자들이 이를 선택할지 의문인 상황입니다. 따라서 경영자는 먼저 시제품을 내어놓고 이에 대한 소비자들의 반응을 알아볼 것 입니다. 또한 소비자들의 반응에 따라 생산량을 조절하여 적정 재고량을 유지하려 할 것 입니다. 그러자면 생산설비를 늘려야 할 것인지 줄여야 할 것 인지를 미리 판단하여야 하며 이를 위해서는 일정시간 경과 후에 신제품을 구입하고자 하는 소비자 수를 예측하여야 할 것 입니다.
위의 예시와 같이 시간에 따라 상태가 확률적으로 변할 때, 그것을 수학적으로 모델링 하기 위한 도구가 확률과정입니다.
확률과정의 수학적 정의는 다음과 같습니다.
임의의 t∈T에 대하여 Xt가 확률공간상에 정의된 확률변수 일 때 확률변수들의 집합 {Xt|t∈T}을 확률과정StochasticprocessorRandomprocess라고 합니다.
시점 t에서의 주식값 Xt,t in T를 t가 변함에 따라 추적해 나가면 하나의 확률과정이 형성됩니다. 여기서 T는 관찰시점들의 총집합을 나타내며 T를 지수집합indexset 또는 시간공간timespace라고 부릅니다.
종종 t는 시간으로 해석되어지며 이때 실수 Xt(w)=X(t,w)는 시점t에서의 상태state 또는 위치를 나타냅니다. 모든 t∈T에 대하여 Xt가 취할 수 있는 가능한 모든 값들의 집합 S를 상태공간statespace라고 합니다.
또한 확률과정 {Xt|t∈T}에서 각각의 t에 Xt(w) 값을 대응시키는 관계를 표본 함수Samplefunction라 하고, t의 변화에 따른 Xt값의 그래프를 표본 경로samplepath라고 합니다. w∈ω가 고정되면 그때마다 하나의 표본경로를 그릴 수 있습니다.

글을 쓰는 현재 시점인 2021년 7월 16일을 기준으로 1년간의 주가 추이는 다음과 같습니다. 삼성전자의 주가가 확률과정을 따른다고 가정하겠습니다.
위 그래프에서 지수집합indexset은 2020년 7월 16일부터 2021년 7월 16일 입니다.
이 확률과정의 상태는 가격이며 2021년 7월 16일의 경우 79800원을 나타냅니다.
확률 과정은 시간공간과 상태공간 그리고 종속관계에 따라 분류됩니다. 시간공간과 상태공간이 이산인지 연속인지에 따라 4가지 경우로 나눌 수 있습니다. 시간공간이 이산인 경우 이산시간확률과정, 연속인 경우 연속시간확률과정이라고 합니다.
t시점에서의 신제품 구입 소비자 수를 Xt라고 하면, Xt의 분포는 시간 t에 따라 변하게 되며 Xt 사이에는 어떤 형태의 종속관계가 있는 것이 일반적입니다. 따라서 어떤 확률과정의 통계적 성질을 파악하기 위해 X1,⋯,Xt의 결합분포를 알아야 합니다. 그러나 확률과정 {Xt|t∈T}이 특정한 구조를 갖고 있지 않다면 임의의 n개의 확률변수들의 결합분포를 모두 구한다는 것은 불가능합니다. 따라서 Xt 사이에 적절한 종속관계를 가정한 다음 가정된 종속관계로부터 X1,⋯,Xt의 결합분포를 얻습니다.
Xt 사이의 여러가지 종속관계에 따라 포아송과정, 마르코프과정, 재생과정, 마팅게일과정, 정상과정 등으로 분류할 수 있습니다. 그리고 확률과정이 특정한 분포를 따르도록 가정할 수 있습니다. 가우시안 분포를 따르도록 가정한 경우 Gaussian Process라고 하고, 디리클레 분포를 따르도록 가정한 경우 Dirichlet process라고 합니다.
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