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[Probability] 7. 베르누이 시행과 이항분포BernoullitrialandBinomialDistribution

2021. 7. 20. 16:55Preliminary/Probability

이번 글에서는 표본 공간 S의 실현 값이 오직 둘 중 하나로 분류될 수 있는 베르누이 시행Bernoullitrial에 대해 알아보고, 그의 확장인 이항 분포의 정의와 예시에 대해 알아보겠습니다.

[관련 글] 2. 확률변수RandomVariable,5. 기댓값과 분산ExpectationandVariance,6. 적률 생성 함수Momentgeneratingfunction


베르누이 시행Bernoullitrial은 표본 공간의 실현 값이 오직 둘 중 하나로 분류되는 실험인 베르누이 실험을 독립적으로 몇 회 반복했을 때 발생합니다. 이때 각각의 실험이 성공할 확률은 p로 동일합니다.

성공하는 경우를 1이라고 하고, 실패하는 경우를 0이라고 했을 때, 확률변수 X의 pmf를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

p(x)=px(1p)1x,    x=0, 1

만약 확률변수가 위와 같은 pmf로 나타난다면, 확률변수 X가 베르누이 분포Bernoullidistribution를 따른다고 합니다. 베르누이 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같습니다.

μ=E(X)=(0)(1p)+(1)(p)=p

σ2=Var(X)=p2(1p)+(1p)2p=p(1p)


베르누이 시행을 n번 시행한 후, x번 성공하는 경우를 확률변수로 표현한다고 생각해봅시다. 성공할 확률을 p 실패할 확률을 (1p)라고 가정한다면, 총 n번의 시도 중에서 x번을 선택하는 가짓수는 (nx)이기 때문에 이 확률변수의 pmf는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

p(x)=(nx)px(1p)nx,    x=0, 1, 2,,n

위와 같은 pmf를 가질 때, 확률변수 Y가 이항 분포Binomialdistribution를 따른다고 합니다. 확률변수 Y가 이항 분포를 따르면 YB(n, p)와 같이 나타냅니다. 이항 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같습니다.

μ=np

σ2=np(1p)

적률 생성 함수를 통해 기댓값과 분산을 구하면 다음과 같습니다.

M(t)=xetxp(x)=nx=0etx(nx)px(1p)nx         =nx=0(nx)(pet)x(1p)nx         =[(1p)+pet]n

M(t)=n[(1p)+pet]n1(pet)

M(t)=n[(1p)+pet]n1(pet)+n(n1)[(1p)+pet]n2(pet)2

μ=M(0)=np

σ2=M(0)μ2=np+n(n1)p2(np)2=np(1p)