2021. 7. 20. 16:55ㆍPreliminary/Probability
이번 글에서는 표본 공간 S의 실현 값이 오직 둘 중 하나로 분류될 수 있는 베르누이 시행Bernoullitrial에 대해 알아보고, 그의 확장인 이항 분포의 정의와 예시에 대해 알아보겠습니다.
[관련 글] 2. 확률변수RandomVariable와,5. 기댓값과 분산ExpectationandVariance,6. 적률 생성 함수Momentgeneratingfunction
베르누이 시행Bernoullitrial은 표본 공간의 실현 값이 오직 둘 중 하나로 분류되는 실험인 베르누이 실험을 독립적으로 몇 회 반복했을 때 발생합니다. 이때 각각의 실험이 성공할 확률은 p로 동일합니다.
성공하는 경우를 1이라고 하고, 실패하는 경우를 0이라고 했을 때, 확률변수 X의 pmf를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
p(x)=px(1−p)1−x, x=0, 1
만약 확률변수가 위와 같은 pmf로 나타난다면, 확률변수 X가 베르누이 분포Bernoullidistribution를 따른다고 합니다. 베르누이 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같습니다.
μ=E(X)=(0)(1−p)+(1)(p)=p
σ2=Var(X)=p2(1−p)+(1−p)2p=p(1−p)
베르누이 시행을 n번 시행한 후, x번 성공하는 경우를 확률변수로 표현한다고 생각해봅시다. 성공할 확률을 p 실패할 확률을 (1−p)라고 가정한다면, 총 n번의 시도 중에서 x번을 선택하는 가짓수는 (nx)이기 때문에 이 확률변수의 pmf는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
p(x)=(nx)px(1−p)n−x, x=0, 1, 2,⋯,n
위와 같은 pmf를 가질 때, 확률변수 Y가 이항 분포Binomialdistribution를 따른다고 합니다. 확률변수 Y가 이항 분포를 따르면 Y∼B(n, p)와 같이 나타냅니다. 이항 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같습니다.
μ=np
σ2=np(1−p)
적률 생성 함수를 통해 기댓값과 분산을 구하면 다음과 같습니다.
M(t)=∑xetxp(x)=n∑x=0etx(nx)px(1−p)n−x =n∑x=0(nx)(pet)x(1−p)n−x =[(1−p)+pet]n
M′(t)=n[(1−p)+pet]n−1(pet)
M′′(t)=n[(1−p)+pet]n−1(pet)+n(n−1)[(1−p)+pet]n−2(pet)2
μ=M′(0)=np
σ2=M′′(0)−μ2=np+n(n−1)p2−(np)2=np(1−p)
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