[general] 2-1. 편향-분산 절충관계 증명(Bias-Variance Trade-off Proof)

이전 글([Machine Learning] - 2. 모델 학습$How can we train a model?$)에서 모델이 학습하는 과정을 어떻게 수식으로 나타낼 수 있는지에 대해 알아보았습니다. 또한 그 수식을 예측모델의 편향과 분산으로 나눌 수 있음을 보았습니다.

이번 글에서는 그 수식을 증명하여 수식의 의미를 조금 더 생각해보겠습니다.

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우리가 예측하고자 하는 종속변수 $Y$와 그의 예측 값 $\hat {Y}$간의 차이를 줄이면서 모델을 학습하게 된다고 하였고, 그것을 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$E[(Y-\hat {Y})^2]=\mathbb {E}[f(X)+\epsilon-\hat {f}(X))^2]~~~~\cdots(1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\mathbb {E}[(f(X)-\hat {f}(X))^2]+\mathbb {E}[\epsilon^2]+2\mathbb {E}[(f(X)-\hat {f}(X))\epsilon]~~~~\cdots(2.1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\mathbb {E}[(f(X)-\hat {f}(X))^2]+\mathbb {E}[\epsilon^2]+2\mathbb {E}[(f(X)-\hat {f}(X))]\mathbb {E}[\epsilon]~~~~\cdots(2.2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\mathbb {E}[(f(X)-\hat {f}(X))^2]+\mathbb {E}[\epsilon^2]~~~~\cdots(3)$

$(1)$식에서 $(2.1)$번 식은 두 확률변수의 기댓값 공식을 통해 도출할 수 있습니다. 그리고 가정에서 랜덤 오차 항과 우리가 추정하는 모델$\hat {f}$은 독립이라고 하였으므로, $(2.1)$식에서 $(2.2)$식을 도출할 수 있습니다. 그리고 가정에서 랜덤 오차 항의 평균을 0이라고 하였으므로 $(3)$식을 도출할 수 있습니다.

$\mathbb {E}[(f(X)-\hat {f}(X))^2]=\mathbb {E}[((f(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])-(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)]))^2]~~~~\cdots(4) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\mathbb {E}[(\mathbb {E}[\hat {f}(X)]-f(X))^2]+\mathbb {E}[(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])^2]~~~~\cdots(5.1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2\mathbb {E}[(f(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])]~~~~\cdots(5.2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=(\mathbb {E}[\hat {f}(X)]-f(X))^2+\mathbb {E}[(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])^2]~~~~\cdots(6.1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2(f(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])\mathbb {E}[(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])]~~~~\cdots(6.2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=Bias [\hat {f}(X)]^2+Var(\hat {f}(X))~~~~\cdots(7.1) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-2(f(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])\mathbb {E}[(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])]~~~~\cdots(7.2) \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=Bias [\hat {f}(X)]^2+Var(\hat {f}(X))~~~~\cdots(8)$

$(3)$식의 왼쪽항을 가져와서 왼쪽항과 오른쪽항에 $\mathbb {E}[\hat {f}(X)]$을 더하면 $(4)$가 됩니다. $(4)$을 기댓값을 구하면 $(5.1)$, $(5.2)$로 분해할 수 있습니다. $(5.1)$의 왼쪽항은 이미 상수이므로 기댓값을 취해도 그대로 빠져나오게 되어 $(5.1)$식이 $(6.1)$식이 됩니다. 마찬가지로 $(5.2)$식에서도$(f(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])$은 상수이므로 $(5.2)$식이 $(6.2)$가 되게 됩니다. $(6.1)$식을 편향 텀과 분산 텀으로 나타내면 $(7.1)$식과 같고, 상수를 기댓값 취했을 때, 그대로 밖으로 나온다는 것을 이용하면 $(6.2)$식은 $(7.2)$식이 되고, $(\mathbb {E}[\hat {f}(X)]-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])=0$이므로 $(7.2)$식은 $(8)$식이 됩니다. $(3)$식과 $(8)$식을 정리한 결과는 다음과 같습니다.

$\mathbb {E}[(Y-\hat {Y})^2]=Bias [\hat {f}(X)]^2+Var(\hat {f}(X))+\mathbb {E}[\epsilon^2]$

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$Bias [\hat {f}(X)]=(\mathbb {E}[\hat {f}(X)]-f(X))$인데, 우리가 예측한 모델$\hat {f}(X)$이 정답$f(X)$과 얼마나 차이가 있는지를 나타냅니다. 즉 정답과 가깝게 모델을 예측하면 Bias텀을 줄일 수 있을 것입니다. $Var(\hat {f}(X))=\mathbb {E}[(\hat {f}(X)-\mathbb {E}[\hat {f}(X)])^2]$인데 이 값은 우리가 예측한 모델의 값과 예측한 모델의 평균 간의 차이가 얼마인가를 나타냅니다. 즉 우리가 예측한 모델이 얼마만큼 넓게 분포하는 가를 나타낸다고 할 수 있습니다.

따라서 $E[(Y-\hat {Y})^2]$식은 우리가 알고 있던 편향과 분산의 의미를 예측모델의 관점에서 생각한 식이라고 할 수 있을 것 같습니다.