[Probability] 3. 결합, 조건부, 주변 확률분포(Joint, Contional, Marginal Probability Distribution)

이번 글에서는 결합 확률(Joint Probability), 조건부 확률(Conditional Probability)과  주변 확률(Marginal Probability)에 대해 알아보겠습니다.

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어떤 확률실험에서 표본 공간(Sample space) $\mathbb {S}$의 사건들이 중복되어 일어나는 경우의 확률을 결합 확률이라고 하고, 이 분포를 수학적으로 $P(X,~Y)$로 나타냅니다. 해가 없으면서 비가 오지 않는 경우를 예시로 들 수 있습니다.

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어떤 확률 실험에서 표본공간(Sample space)을 표본공간$\mathbb {S}$의 부분집합 $X$로 축소하여 생각하고 싶은 경우를 생각해보겠습니다. 이때 표본 공간은 사실상 부분 공간 $X$을 의미하게 됩니다. 

이 확률을 사건 $X$의 가설에 대한 사건 $Y$의 조건부 확률(conditional probability)라고 하고 이에 대한 분포를 수학적으로$P(Y|X)$와 같이 나타냅니다. 

이 기호에 대해 다시 생각해보면, 표본공간이 $\mathbb {S}$에서 $X$으로 축소되었으니, 새로운 표본 공간 $X$에서 사건 $Y$에 대해 생각할 때는 $X$의 상에서만 생각할 수 있는 것입니다. 즉, $P(Y|X)=P(X \cap Y | X)$와 같은 의미를 지니게 됩니다. 해가 있는 경우 중에서 비가 오지 않는 경우를 예시로 들 수 있습니다.

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어떤 확률 실험에서 표본공간 $\mathbb {S}$의 특정사건만 관심이 있을 때, 주변 확률을 이용하여 나타냅니다. 수학적으로 주변확률은 결합확률에서 관심이 있는 변수를 제외한 나머지 변수에 대해 모두 적분해주어서 구할 수 있습니다. 즉, $P(Y)=\int P(X,Y) dX$로 나타낼 수 있습니다. 예를들어서 $P(\textrm{해가있다.})=P(\textrm{해가 있다, 비가 온다.})+P(\textrm {해가 있다, 비가 오지 않는다.})$와 같이 나타낼 수 있습니다.