[Measure] 1. 측도(Measure)

Wikipedia에 측도(Measure)를 검색하면 다음과 같은 정의를 볼 수 있습니다.

a measure on a set is a systematic way to assign a number to each suitable subset of that set, intuitively interpreted as its size. In this sense, a measure is a generalization of the concepts of length, area, and volume.

측도(Measure)란 길이, 면적, 부피를 일반적으로 나타내는 단어 임을 알 수 있습니다. 

 

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확률을 공부하는 측면에서 입장에서 이것이 왜 필요할까요??

이 질문에 답변하기 위해, 두 가지 예시를 보겠습니다.

1. 곡선의 면적

Fig1. 곡선의 면적

곡선$f$의 면적은 우리가 적분을 생각할 때, 가장 일반적으로 떠올릴 수 있는 예제입니다.

전체 곡선의 면적은 Fig1 그림과 같이 $x$축을 작은 단위로 나눈 후, 각각의 $x$축의 단위에 대해 계산한 직사각형의 면적들의 총합으로 구할 수 있습니다.

$x$축의 시작점을 $x_0(a)$, 끝점을 $x_n(b)$라고 하고, $a$와 $b$사이에 $n$개의 구간(interval)이 있다고 가정합니다.

그렇다면 우리가 원하는 곡선의 면적은 $\sum_{i=1}^{n}{f(x_{i})*(x_{i}-x_{i-1})}$ 로 나타낼 수 있습니다.

만약, $n$을 엄청 큰 수로 가정한다면, 조금 더 정확한 수치의 적분을 수행할 수 있을 것입니다.

2. 확률

우리가 알고 있었던 확률의 예시를 들어보겠습니다. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일한 동전을 던졌을 때, 동전의 앞면이 나올 확률은 얼마일까요??

동전을 던졌을 때, 나올 수 있는 경우의 수는 {앞면, 뒷면}이니까 앞면이 나올 확률은 1/2!

위와 같이 생각하셨다면 올바르게 확률을 이해하고 계신다고 할 수 있습니다.

하지만, 확률을 위와 같은 적분(곡선의 면적)으로 어떻게 나타낼 수 있을까요?

확률을 위와 같은 적분으로 정의하기는 상당히 어려워 보입니다. 그이유는 적분을 수행할 단위($x$축)를 상정하는 것이 어렵기 때문입니다.

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이제 앞선 질문에 대답할 수 있을 것 같습니다.

확률을 공부하는 측면에서 측도(Measure)가 왜 필요한 이유는 확률과 같이 추상적인 단위에 대해서 적분을 하기 위해서라고 할 수 있습니다.