Processing math: 100%

[Measure] 3. 측도가능 함수와 확률측도MeasurablefunctionandProbabilityMeasure

2021. 7. 7. 13:37Preliminary/Measure

이전 글(1. Measurable Set이란?)에서 추상적인 적분을 수행할 수 있는 단위인 Measurable Set에 대해서 알아보았습니다. 

이번 글에서는 추상적인 적분인 Measure와 Probability Measure에 대해 알아보겠습니다.


먼저, Measurable Set에서 Measure로 mapping 하기 위해선, mapping 하는 함수가 필요할 것입니다. 그 함수를 Measurable function이라고 합니다. Measurable function은 다음과 같이 정의합니다.

Given, σalg m of X and Y ,where Y is topological space.

We say that f : XY is a Measurable function  if  U  Ty, f1(U)  m

이렇게 정의된 Measurable function 중 특별한 조건Countableadditivity이 주어진 함수를 Measure라고 정의합니다.


Measure는 다음과 같이 정의합니다.

Given Measurable space (X,m) , if μ : m  [0,] is a function satisfying countable additivity, then we call μ a measure on X

here, Countable additivity means μ(i=1Ai)=Σj=1μ(Aj)  ,where for any disjoint countable collection {Ai}i=1m

We say that  (X , m , μ) is measure space


지금 까지 Measurable Set에서 정의할 수 있는 Measure를 정의해보았습니다. 앞서 정의한 Measure를 계산했을 때, 1이 나오게 되면 특별히 이 Measure를  Probability Measure라고 하고 이것이 흔히 우리가 쓰는 확률이라고 할 수 있습니다. 조금 더 수학적인 정의는 다음과 같습니다.

If a measure μ satisfies μ(X)=1 We say (X , m , μ) a probability space

또한, Probability Measre를 쓰는 경우, 확률의 맥락과 맞게, set X를 sample space, mσfield라고 지칭합니다.