[Measure] 3. 측도가능 함수와 확률측도(Measurable function and Probability Measure)

이전 글(1. Measurable Set이란?)에서 추상적인 적분을 수행할 수 있는 단위인 Measurable Set에 대해서 알아보았습니다. 

이번 글에서는 추상적인 적분인 Measure와 Probability Measure에 대해 알아보겠습니다.

---

먼저, Measurable Set에서 Measure로 mapping 하기 위해선, mapping 하는 함수가 필요할 것입니다. 그 함수를 Measurable function이라고 합니다. Measurable function은 다음과 같이 정의합니다.

$\textrm {Given},~\sigma-alg~m$ of $X~and~Y~,where~Y~is~topological~space.$

$\textrm {We say that}~f~:~X \rightarrow Y~\textrm {is a Measurable function}~~ \textrm {if}~\forall~U~\subseteq~T_{y},~f^{-1}(U)~\subseteq~m$

이렇게 정의된 Measurable function 중 특별한 조건(Countable additivity)이 주어진 함수를 Measure라고 정의합니다.

---

Measure는 다음과 같이 정의합니다.

$\textrm {Given Measurable space}~(X, m)~,~\textrm {if}~\mu~:~m~\rightarrow~[0,\infty]~\textrm {is a function satisfying countable additivity, then we call}~\mu~\textrm {a measure on X}$

$\textrm {here, Countable additivity means}~\mu(\cup_{i=1}^{\infty}{A_{i}})=\Sigma_{j=1}^{\infty}{\mu(A_{j})} ~~,\textrm {where for any disjoint countable collection}~\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty}\subset m$

$\textrm {We say that }~(X~,~m~,~\mu)~\textrm {is measure space}$

---

지금 까지 Measurable Set에서 정의할 수 있는 Measure를 정의해보았습니다. 앞서 정의한 Measure를 계산했을 때, 1이 나오게 되면 특별히 이 Measure를  Probability Measure라고 하고 이것이 흔히 우리가 쓰는 확률이라고 할 수 있습니다. 조금 더 수학적인 정의는 다음과 같습니다.

$\textrm {If a measure}~\mu~\textrm {satisfies}~\mu(X)=1~\textrm {We say}~(X~,~m~,~\mu)~\textrm {a probability space}$

또한, Probability Measre를 쓰는 경우, 확률의 맥락과 맞게, $\textrm {set X}$를 sample space, $m$을 $\sigma-field$라고 지칭합니다.