2021. 7. 7. 13:37ㆍPreliminary/Measure
이전 글(1. Measurable Set이란?)에서 추상적인 적분을 수행할 수 있는 단위인 Measurable Set에 대해서 알아보았습니다.
이번 글에서는 추상적인 적분인 Measure와 Probability Measure에 대해 알아보겠습니다.
먼저, Measurable Set에서 Measure로 mapping 하기 위해선, mapping 하는 함수가 필요할 것입니다. 그 함수를 Measurable function이라고 합니다. Measurable function은 다음과 같이 정의합니다.
Given, σ−alg m of X and Y ,where Y is topological space.
We say that f : X→Y is a Measurable function if ∀ U ⊆ Ty, f−1(U) ⊆ m
이렇게 정의된 Measurable function 중 특별한 조건Countableadditivity이 주어진 함수를 Measure라고 정의합니다.
Measure는 다음과 같이 정의합니다.
Given Measurable space (X,m) , if μ : m → [0,∞] is a function satisfying countable additivity, then we call μ a measure on X
here, Countable additivity means μ(∪∞i=1Ai)=Σ∞j=1μ(Aj) ,where for any disjoint countable collection {Ai}∞i=1⊂m
We say that (X , m , μ) is measure space
지금 까지 Measurable Set에서 정의할 수 있는 Measure를 정의해보았습니다. 앞서 정의한 Measure를 계산했을 때, 1이 나오게 되면 특별히 이 Measure를 Probability Measure라고 하고 이것이 흔히 우리가 쓰는 확률이라고 할 수 있습니다. 조금 더 수학적인 정의는 다음과 같습니다.
If a measure μ satisfies μ(X)=1 We say (X , m , μ) a probability space
또한, Probability Measre를 쓰는 경우, 확률의 맥락과 맞게, set X를 sample space, m을 σ−field라고 지칭합니다.
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