블로그의 다른 글([Measure] 2. Measurable function and Probability Measure)에서 Probability Measure에 대해 정의하였습니다. 이번 글에서는 조금 더 확률론적인 입장에서 Probability를 정의해보겠습니다. 이전 글에서 Measure는 Measurable Set 상에서 정의된다고 하였는데, Probability Measure를 사용하는 경우, Measurable Set을 Sample Space라고 지칭하고, Probability Measure를 간단히 Probability라고 지칭합니다. 즉, 우리는 관심있는 집합(Sample space)에서 집합의 원소의 Probability Measure(확률)을 정의하였다고 할 수 있습니다. Sample ..

이전 글(1. Measurable Set이란?)에서 추상적인 적분을 수행할 수 있는 단위인 Measurable Set에 대해서 알아보았습니다. 이번 글에서는 추상적인 적분인 Measure와 Probability Measure에 대해 알아보겠습니다. 먼저, Measurable Set에서 Measure로 mapping 하기 위해선, mapping 하는 함수가 필요할 것입니다. 그 함수를 Measurable function이라고 합니다. Measurable function은 다음과 같이 정의합니다. $\textrm {Given},~\sigma-alg~m$ of $X~and~Y~,where~Y~is~topological~space.$ $\textrm {We say that}~f~:~X \rightarrow Y~..

앞선 글([Preliminary] - 0. 측도(Measure)란?)에서 Measure에 대한 직관적인 개념에 대해 설명하였습니다. 앞선 글에서 우리가 Measure를 사용하는 주된 이유는 추상적인 단위들에 대해서 적분을 수행하기 위함이라고 하였습니다. 추상적인 단위들에 대해 적분을 수행하기 위해선, 추상적인 단위들을 '어떻게 정의할 것 인가?'에 대한 엄밀한 정의가 필요할 것입니다. 집합 $X$에 대해 만약 $m~\subseteq~ \textrm {power set P(X)}$이다음 조건을 만족한다면 $m$을 $\sigma-algebra$라고 합니다. $1. $ $X \in m$ $2. $ $A \in m,~~then~~ A^{c} \in m$ $3. $ $\{A_{n}\} \subseteq m,~~t..

Wikipedia에 측도(Measure)를 검색하면 다음과 같은 정의를 볼 수 있습니다. a measure on a set is a systematic way to assign a number to each suitable subset of that set, intuitively interpreted as its size. In this sense, a measure is a generalization of the concepts of length, area, and volume. 측도(Measure)란 길이, 면적, 부피를 일반적으로 나타내는 단어 임을 알 수 있습니다. 확률을 공부하는 측면에서 입장에서 이것이 왜 필요할까요?? 이 질문에 답변하기 위해, 두 가지 예시를 보겠습니다. 1. 곡선의 면적 ..